Teoria
\[ \log_a(b) = x \;\Longleftrightarrow\; a^x = b \]
Logarytm mówi, do której potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę.
Żeby obliczyć logarytm, zadaj sobie pytanie:
„Do której potęgi trzeba podnieść
a,
żeby wyszło
b?"
Logarytm dziesiętny — specjalny przypadek
Gdy podstawa logarytmu nie jest napisana to wynosi ona
10
— jest to tak zwany logarytm dziesiętny.
\[ \log(b) = \log_{10}(b) \]
Jest to najczęściej spotykana konwencja w matematyce i fizyce. Zamiast pisać \(\log_{10}\), piszemy po prostu \(\log\).
Przykłady
Przykład 1 — wynik ujemny
?
\(\log_2\!\left(\dfrac{1}{8}\right) = \;x\)
→
\(\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}\)
⟹
\(x = -3\)
✓
\(\log_2\!\left(\dfrac{1}{8}\right) =\)
−3
Ćwiczenie 1
\[ \log_3\!\left(\frac{1}{27}\right) = \;? \]
Przykład 2 — wynik zero
→
\(5^0 = 1\)
⟹
\(x = 0\)
Ćwiczenie 2
\[ \log_7(1) = \;? \]
Przykład 3 — wynik ułamkowy
?
\(\log_2\!\left(\sqrt{2}\right) = \;x\)
→
\(\sqrt{2} = 2^{1/2}\)
⟹
\(x = \dfrac{1}{2}\)
✓
\(\log_2\!\left(\sqrt{2}\right) =\)
\(\dfrac{1}{2}\)
Ćwiczenie 3
\[ \log_3\!\left(\sqrt[3]{3}\right) = \;? \]
Przykład 4 — logarytm dziesiętny
?
\(\log(0{,}001) = \;x\)
→
\(0{,}001 = \dfrac{1}{1000} = \dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}\)
⟹
\(x = -3\)
Ćwiczenie 4
\[ \log(0{,}0001) = \;? \]
Przykład 5 — podstawa ułamkowa
?
\(\log_{3/4}\!\left(\dfrac{9}{16}\right) = \;x\)
→
\(\dfrac{9}{16} = \dfrac{3^2}{4^2} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\)
⟹
\(x = 2\)
✓
\(\log_{3/4}\!\left(\dfrac{9}{16}\right) =\)
2
Ćwiczenie 5
\[ \log_{2/3}\!\left(\frac{4}{9}\right) = \;? \]
Przykład 6 — podstawa ułamkowa, wynik ujemny
?
\(\log_{1/2}(8) = \;x\)
→
\(8 = 2^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}\)
⟹
\(x = -3\)
Ćwiczenie 6
\[ \log_{1/2}(4) = \;? \]
Przykład 7 — pierwiastek w podstawie
?
\(\log_{\sqrt{3}}(27) = \;x\)
1
\(\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3\)
3
\(\left(\left(\sqrt{3}\right)^2\right)^3 = \left(\sqrt{3}\right)^6 = 27\)
✓
\(\log_{\sqrt{3}}(27) =\)
6
Ćwiczenie 7
\[ \log_{\sqrt{5}}(25) = \;? \]