Logarytmy

Logarytmy o tej samej podstawie można ze sobą łączyć. Suma dwóch logarytmów zamienia się w logarytm iloczynu, a różnica — w logarytm ilorazu.

Dodawanie

\[ \log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y) \]

Odejmowanie

\[ \log_a x - \log_a y = \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) \]

Oba wzory działają też w drugą stronę — logarytm iloczynu lub ilorazu można rozłożyć na sumę lub różnicę:

\[ \log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y \]

\[ \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \]

⚠ Ważne: wzory działają tylko gdy podstawy są identyczne. Nie można łączyć \(\log_2(4)\) z \(\log_3(9)\) — to różne podstawy.

Tak samo — jeśli przed logarytmem stoi liczba (współczynnik), np. \(2\log_3 4\), najpierw trzeba go zamienić na wykładnik potęgi (\(\log_3 4^2\)) — dopiero potem można łączyć logarytmy.

\( \log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y) \)

Przykład 1

?

\(\log_6(2) + \log_6(18) = \;?\)

1

\(\log_6(2 \cdot 18) = \log_6(36)\)

2

\(\log_6(6^2)\)

3

\(2 \cdot \log_6(6)\)

4

\(2 \cdot 1\)

✓

\(\log_6(2) + \log_6(18) =\) 2

Ćwiczenie 1

\[ \log_3(6) + \log_3\!\left(\tfrac{3}{2}\right) = \;? \]

\( \log_a x - \log_a y = \log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right) \)

Przykład 2

?

\(\log_3(54) - \log_3(2) = \;?\)

1

\(\log_3\!\left(\dfrac{54}{2}\right) = \log_3(27)\)

2

\(\log_3(3^3)\)

3

\(3 \cdot \log_3(3)\)

4

\(3 \cdot 1\)

✓

\(\log_3(54) - \log_3(2) =\) 3

Ćwiczenie 2

\[ \log_2(96) - \log_2(3) = \;? \]

Kiedy przed logarytmem stoi liczba (współczynnik), nie można go po prostu pominąć przy łączeniu logarytmów. Trzeba go najpierw zamienić na wykładnik potęgi, korzystając ze wzoru \(r \cdot \log_a x = \log_a x^r\).

✗ Błąd

\(2\log_3 4 - \log_3 2\)

≠ \(2\log_3\!\left(\dfrac{4}{2}\right)\)

≠ \(2\log_3(2)\)

✓ Poprawnie

\(2\log_3 4 - \log_3 2\)

= \(\log_3 4^2 - \log_3 2\)

= \(\log_3\!\left(\dfrac{16}{2}\right) = \log_3 8\)

Przykład 3 — dwa współczynniki naraz

?

\(3\log_2 4 - 2\log_2 2 = \;?\)

1

\(\log_2 4^3 - \log_2 2^2\)

2

\(\log_2 64 - \log_2 4\)

3

\(\log_2\!\left(\dfrac{64}{4}\right) = \log_2 16\)

4

\(\log_2 2^4\)

5

\(4 \cdot \log_2 2\)

6

\(4 \cdot 1\)

✓

\(3\log_2 4 - 2\log_2 2 =\) 4

Ćwiczenie 3

\[ 2\log_5 10 - \log_5 4 = \;? \]

Wzory na dodawanie i odejmowanie działają wyłącznie gdy obie podstawy są identyczne. Nie wolno ich stosować gdy podstawy są różne — nawet jeśli wyniki wyglądają podobnie.

✗ Błąd

\(\log_2(8) + \log_4(16)\)

≠ \(\log_2(8 \cdot 16)\)

≠ \(\log_2(128)\)

podstawy 2 i 4 są różne!

✓ Poprawnie

\(\log_2(8) + \log_4(16)\)

= \(3 + 2 = 5\)

oblicz każdy logarytm osobno!

Przykład 4 — trzy różne podstawy

?

\(\log_2(8) + \log_3(9) + \log_5(25) = \;?\)

1

\(\log_2(8) = \log_2(2^3) = 3\)

2

\(\log_3(9) = \log_3(3^2) = 2\)

3

\(\log_5(25) = \log_5(5^2) = 2\)

4

\(3 + 2 + 2\)

✓

\(\log_2(8) + \log_3(9) + \log_5(25) =\) 7

Ćwiczenie 4

Które wyrażenie jest poprawnym sposobem obliczenia \(\log_2(4) + \log_3(27)\)?

A) \(\log_2(4 \cdot 27) = \log_2(108)\)

B) \(\log_6(4 \cdot 27) = \log_6(108)\)

C) \(\log_2(4) + \log_3(27) = 2 + 3 = 5\)

D) \(\log_2(4) + \log_3(27) = \log_5(31)\)

1. Oblicz: \(\log_2(10) + \log_2\!\left(\dfrac{1}{5}\right)\)

2. Oblicz: \(\log_3(108) - \log_3(4)\)

3. Które wyrażenie jest równe \(\log_4(6) + \log_4\!\left(\tfrac{8}{3}\right)\)?

A) \(\log_4\!\left(6 + \dfrac{8}{3}\right)\)

B) \(\log_4(16)\)

C) \(\log_8(16)\)

D) \(\log_4(6) \cdot \log_4\!\left(\dfrac{8}{3}\right)\)

4. Oblicz: \(\log_2(8) + \log_3(9)\)

5. Które wyrażenie jest równe \(\log_5(60) - \log_5(12)\)?

A) \(\log_5(48)\)

B) \(\log_5(720)\)

C) \(\log_{10}(5)\)

D) \(\log_5(5)\)

6. Oblicz: \(\log(2500) - \log(25)\)

7. Oblicz: \(\log_2(10) + \log_2(8) - \log_2(5)\)

8. Oblicz: \(2\log_3 6 - \log_3 4\)

9. Wybierz wszystkie prawdziwe stwierdzenia:

\(\log_2\!\left(\dfrac{3}{5}\right) + \log_2\!\left(\dfrac{20}{3}\right) = 4\)

\(\log_3(54) - \log_3(6) = 3\)

\(\log_5(10) + \log_5\!\left(\tfrac{5}{2}\right) = 3\)

\(\log_7(14) + \log_7\!\left(\dfrac{7}{2}\right) = 2\)

10. Oblicz: \(\log_6(9) + \log_6(8) - \log_6(2)\)

Teoria