Logarytmy

Potęgowanie to operacja, którą już dobrze znasz. Wiesz, że \(2^3 = 8\).

Ale co, gdybyś dostał zadanie odwrotne — znasz podstawę i wynik, ale nie wiesz, jaki był wykładnik?

Do której potęgi trzeba podnieść 2, żeby dostać 8?

Odpowiedź to 3, bo \(2^3 = 8\). Proste. Ale matematycy zadawali sobie takie pytania tak często, że postanowili wymyślić dla nich własny, krótki zapis. I tak powstał logarytm:

\[ \log_2(8) = 3 \]

To równanie mówi dokładnie to samo co \(2^3 = 8\) — tylko pyta o to od drugiej strony. Logarytm to odpowiedź na pytanie: „do której potęgi?"

Sprawdź, czy rozumiesz — spróbuj odpowiedzieć na podobne pytanie:

\[ \log_3(9) = \;? \]

\[ \log_a(b) \]

Czytamy: „logarytm o podstawie \(a\) z \(b\)"

\(a\) — podstawa logarytmu
\(b\) — liczba logarytmowana

\[ \log_a(b) = x \;\Longleftrightarrow\; a^x = b \]

Logarytm mówi, do której potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę.

Żeby obliczyć logarytm, zadaj sobie pytanie:

„Do której potęgi trzeba podnieść a, żeby wyszło b?"

Przykład 1

?

\(\log_5(25) = \;x\)

→

\(5^2 = 25\) ⟹ \(x = 2\)

✓

\(\log_5(25) =\) 2

Ćwiczenie 1

\[ \log_2(16) = \;? \]

Przykład 2

?

\(\log_{10}(1000) = \;x\)

→

\(10^3 = 1000\) ⟹ \(x = 3\)

✓

\(\log_{10}(1000) =\) 3

Ćwiczenie 2

\[ \log_{10}(100) = \;? \]

Przykład 3

?

\(\log_7(7) = \;x\)

→

\(7^1 = 7\) ⟹ \(x = 1\)

✓

\(\log_7(7) =\) 1

Ćwiczenie 3

\[ \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{2}\right) = \;? \]

1. W wyrażeniu \(\log_2(8)\) liczba 2 to:

podstawa logarytmu

liczba logarytmowana

2. Oblicz: \(\log_2(4)\)

3. Oblicz: \(\log_3(27)\)

4. Oblicz: \(\log_6(216)\)

5. Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi:

\(\log_{11}(121) = 2\)

\(\log_{10}(100) = 2\)

\(\log_2(8) = 8\)

6. W wyrażeniu \(\log_7(49)\) liczba 49 to:

podstawa logarytmu

liczba logarytmowana

7. Oblicz: \(\log_3(81)\)

8. Oblicz: \(\log_4(64)\)

9. Oblicz: \(\log_2(32)\)

10. Wybierz poprawne odpowiedzi:

\(\log_2(128) = 7\)

\(\log_7(7) = 1\)

\(\log_3(3) = 3\)

Wprowadzenie

Teoria