Logarytmy

Jeśli mamy potęgę wewnątrz logarytmu, możemy wykładnik wyciągnąć przed logarytm jako mnożnik:

\[ \log_a x^r = r \cdot \log_a x \]

Ten wzór działa w obie strony — to klucz do wielu obliczeń:

→ Potęga wychodzi przed

Mamy potęgę w środku logarytmu i chcemy się jej pozbyć — wykładnik staje się mnożnikiem.

\(\log_a x^r \;\longrightarrow\; r \cdot \log_a x\)

⇄

← Mnożnik wchodzi do środka

Mamy mnożnik przed logarytmem i chcemy go „wchłonąć" — staje się wykładnikiem potęgi.

\(r \cdot \log_a x \;\longrightarrow\; \log_a x^r\)

Kierunek 1 — potęga wychodzi przed logarytm

wykładnik → mnożnik

Przykład 1

?

\(\log_3(81) = \;?\)

1

\(\log_3(3^4)\)

2

\(4 \cdot \log_3(3)\)

3

\(4 \cdot 1\)

✓

\(\log_3(81) =\) 4

Ćwiczenie 1

\[ \log_2(64) = \;? \]

Przykład 2

?

\(\log_5\!\left(\sqrt{125}\right) = \;?\)

1

\(\log_5\!\left(125^{1/2}\right)\)

2

\(\log_5\!\left((5^3)^{1/2}\right)\)

3

\(\log_5\!\left(5^{3/2}\right)\)

4

\(\dfrac{3}{2} \cdot \log_5(5)\)

✓

\(\log_5\!\left(\sqrt{125}\right) =\) \(\dfrac{3}{2}\)

Ćwiczenie 2

\[ \log_2\!\left(\sqrt{8}\right) = \;? \]

Przykład 3

?

\(\log_2\!\left(\dfrac{1}{32}\right) = \;?\)

1

\(\log_2\!\left(\dfrac{1}{2^5}\right)\)

2

\(\log_2\!\left(\left(2^{-1}\right)^5\right)\)

3

\(\log_2\!\left(2^{-5}\right)\)

4

\(-5 \cdot \log_2(2)\)

5

\(-5 \cdot 1\)

✓

\(\log_2\!\left(\dfrac{1}{32}\right) =\) −5

Ćwiczenie 3

\[ \log_3\!\left(\frac{1}{9}\right) = \;? \]

Kierunek 2 — mnożnik wchodzi do środka jako potęga

mnożnik → wykładnik

W tym kierunku nie obliczamy wartości logarytmu — po prostu przenosimy mnożnik do środka jako wykładnik. To przydatne przy upraszczaniu wyrażeń.

Przykład 4

?

\(10 \cdot \log_2(5)\)

→

\(\log_2(5^{10})\)

✓

\(10 \cdot \log_2(5) =\) \(\log_2(5^{10})\)

Ćwiczenie 4

Które wyrażenie jest równe \(7 \cdot \log_3(2)\)?

A) \(\log_3(7 \cdot 2)\)

B) \(\log_{3^7}(2)\)

C) \(7^{\log_3(2)}\)

D) \(\log_3(2^7)\)

Potęga nad podstawą

Uwaga: ten wzór nie pojawia się na kartach maturalnych, ale bardzo często upraszcza obliczenia — warto go znać!

Co się dzieje, gdy to podstawa logarytmu jest potęgą? Mamy analogiczny wzór:

\[ \log_{a^k}(x) = \frac{1}{k} \cdot \log_a(x) \]

Innymi słowy: wykładnik podstawy „schodzi na dół" jako odwrotność (czyli jako \(\tfrac{1}{k}\) przed logarytmem).

Przykład 5

?

\(\log_{4}(8) = \;?\)

1

\(\log_{2^2}(2^3)\)

2

\(\dfrac{1}{2} \cdot \log_2(2^3)\)

3

\(\dfrac{1}{2} \cdot 3\)

✓

\(\log_4(8) =\) \(\dfrac{3}{2}\)

Ćwiczenie 5

\[ \log_{8}(32) = \;? \]

1. Oblicz: \(\log_5(125)\)

2. Oblicz: \(\log_2\!\left(\dfrac{1}{16}\right)\)

3. Które wyrażenie jest równe \(5 \cdot \log_2(3)\)?

A) \(\log_2(15)\)

B) \(5^{\log_2(3)}\)

C) \(\log_2(3^5)\)

D) \(\log_{2^5}(3)\)

4. Które wyrażenia są równe \(\dfrac{1}{3} \cdot \log_5(7)\)?

A) \(\log_5\!\left(\dfrac{7}{3}\right)\)

B) \(\log_5\!\left(7^{1/3}\right)\)

C) \(\log_{5^3}(7)\)

D) \(\log_5(3 \cdot 7)\)

5. Oblicz: \(\log_2\!\left(\sqrt[3]{8}\right)\)

6. Oblicz: \(\dfrac{1}{4} \cdot \log_3(81)\)

7. Oblicz: \(\log_4(32)\)

A) \(2\)

B) \(\dfrac{3}{2}\)

C) \(\dfrac{5}{2}\)

D) \(8\)

8. Które wyrażenie jest równe \(\log_7(7^3)\)?

A) \(7 \cdot \log_7(3)\)

B) \(3 \cdot \log_7(7)\)

C) \(\log_7(3)\)

D) \(3^7\)

9. Oblicz: \(3 \cdot \log_2(4)\)

10. Wybierz wszystkie prawdziwe stwierdzenia:

\(\log_2(32) = 5\)

\(\log_9(27) = \tfrac{3}{2}\)

\(4 \cdot \log_3(2) = \log_3(2^4)\)

\(\log_2(8) = 4\)

Teoria

Przykłady

Kierunek 1 — potęga wychodzi przed logarytm

Przykład 1

Ćwiczenie 1

Przykład 2

Ćwiczenie 2

Przykład 3

Ćwiczenie 3

Kierunek 2 — mnożnik wchodzi do środka jako potęga

Przykład 4

Ćwiczenie 4

Potęga nad podstawą

Przykład 5

Ćwiczenie 5

Quiz