Logarytmy

Zadania maturalne z rozwiązaniami — wszystkie wzory w akcji

lekcja 5
ok. 40 min.
5 ćwiczeń
10 zadań
1
Wzory

Wzory

\[ \log_a b = x \;\Longleftrightarrow\; a^x = b \]

Własności specjalne

Logarytm jedynki
\(\log_a 1 = 0\)
Logarytm podstawy
\(\log_a a = 1\)
Logarytm dziesiętny
\(\log b = \log_{10} b\)

Działania na logarytmach

Suma
\(\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)\)
Różnica
\(\log_a x - \log_a y = \log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\)
Potęga argumentu
\(\log_a x^r = r \cdot \log_a x\)
Potęga podstawy (bonus)
\(\log_{a^k} x = \dfrac{1}{k} \cdot \log_a x\)

Dziedzina logarytmu

Aby \(\log_a(b)\) miał sens, muszą być spełnione trzy warunki:

Warunek 1 — podstawa
\(a > 0\)

Podstawa musi być dodatnia.

Warunek 2 — nie jedynka
\(a \neq 1\)

Jedynka do dowolnej potęgi to zawsze 1.

Warunek 3 — argument
\(b > 0\)

Liczba logarytmowana musi być dodatnia.

2
Przykłady

Przykłady

Przykład 1 — suma logarytmów

?
\(4\log_4 2 + 2\log_4 8 = \;?\)
1
\(\log_4 2^4 + \log_4 8^2\)
2
\(\log_4 16 + \log_4 64\)
3
\(\log_4(16 \cdot 64) = \log_4 1024\)
4
\(\log_4 4^5\)
5
\(5 \cdot \log_4 4 = 5 \cdot 1\)
✓
\(4\log_4 2 + 2\log_4 8 =\) 5

Ćwiczenie 1

\[ \log_3 108 - 2\log_3 2 = \;? \]

Przykład 2 — różnica logarytmów

?
\(\log_2 96 - \log_2 3 = \;?\)
1
\(\log_2\!\left(\dfrac{96}{3}\right) = \log_2 32\)
2
\(\log_2 2^5\)
3
\(5 \cdot \log_2 2 = 5 \cdot 1\)
✓
\(\log_2 96 - \log_2 3 =\) 5

Ćwiczenie 2

\[ \log_3 270 - \log_3 10 = \;? \]

Przykład 3 — pierwiastek w podstawie

?
\(\log_{\sqrt{5}} 25 = \;?\)
1
\(\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5\) żeby wyszło nam \(5\), musimy podnieść do \(2\)
2
\(5^2 = 25\) żeby z \(5\) zrobiło się \(25\), jeszcze do \(2\)
3
\(\left(\left(\sqrt{5}\right)^2\right)^2 = \left(\sqrt{5}\right)^4 = 25\) łącznie do \(2 \cdot 2 = 4\)
✓
\(\log_{\sqrt{5}} 25 =\) 4

Ćwiczenie 3

\[ \log_{\sqrt{2}} 8 = \;? \]

Przykład 4 — dziedzina logarytmu

Dla jakich wartości \(x\) wyrażenie \(\log_2(x + 1)\) ma sens?

?
Z dziedziny logarytmu wiemy, że argument musi być dodatni: \(b > 0\)
1
\(x + 1 > 0\)
2
\(x > -1\)
✓
Wyrażenie ma sens dla \(x \in (-1, +\infty)\)

Ćwiczenie 4

Dla jakich wartości \(x\) wyrażenie \(\log_3(2x - 4)\) ma sens?

Przykład 5 — logarytm wyrażony przez inny

Niech \(\log_2 9 = m\). Oblicz \(\log_2 72\).

?
Szukamy \(\log_2 72\). Zauważamy, że \(72 = 9 \cdot 8\)
1
\(\log_2 72 = \log_2(9 \cdot 8)\)
2
\(\log_2 9 + \log_2 8\)
3
\(m + \log_2 2^3 = m + 3\)
✓
\(\log_2 72 =\) \(m + 3\)

Ćwiczenie 5

Niech \(\log_5 4 = p\). Oblicz \(\log_5 100\).

3
Zadania

Zadania maturalne

Matura 2025 — czerwiec

1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Iloczyn \(2 \cdot \log_3 5\) jest równy \(\log_3 25\).
Suma \(2 + \log_3 5\) jest równa \(\log_3 10\).
Matura 2019 — maj

2. Wartość wyrażenia \(\log 4 + \log 25\) jest równa:

Matura 2018 — maj

3. Wartość wyrażenia \(\log_4 8 + 5\log_4 2\) jest równa:

Matura 2021 — maj

4. Wartość wyrażenia \(2\log_6 4 + \log_6 9\) jest równa:

Matura 2020 — maj

5. Liczba \(\log_6 9 + 2\log_6 2\) jest równa:

Matura 2016 — maj

6. Liczba \(\log_3 \sqrt{27} - \log_{27} \sqrt{3}\) jest równa:

Matura 2015 — maj

7. Dane są liczby \(a = \log_{\frac{1}{2}} 8,\; b = \log_4 8,\; c = \log_4 \dfrac{1}{2}\). Która z nierówności jest prawdziwa?

Matura 2022 — wrzesień (próbna)

8. Wartość wyrażenia \(2\log_5 5 + 1 - \dfrac{1}{2}\log_5 625\) jest równa:

Matura 2014 — maj

9. Niech \(L = \log_{\sqrt{2}} 2 \cdot \log_2 \sqrt{3} \cdot \log_{\sqrt{3}} 4\). Wtedy:

Matura 2021 — czerwiec

10. Niech \(\log_3 18 = c\). Wtedy \(\log_3 54\) jest równy:

✏️
Twoja opinia
Jak oceniasz tę lekcję?
Anonimowa ankieta · pomaga ulepszać materiały
Ogólna ocena lekcji *
Jak oceniasz wytłumaczenie? *
najgorzejnajlepiej
Jak pewnie czujesz się z tematem? *
zupełnie niepewniebardzo pewnie
Czy zauważyłeś błąd w lekcji? *
Co mogłoby być lepsze? (opcjonalne)
Coś poszło nie tak. Sprawdź połączenie z internetem i spróbuj ponownie.
🎉
Dziękujemy za opinię!
Twoja odpowiedź została zapisana. Każda opinia pomaga nam tworzyć lepsze lekcje matematyki.
✓ Wysłano pomyślnie
Następna lekcja
Lekcja 6 · Sprawdź swoją wiedzę

Finalny test z całości materiału o logarytmach.

Przejdź do lekcji 6